W książce omówiono układy dynamiczne, jakimi w szczególności są konstrukcje mechaniczne, szeroko stosowane w praktyce inżynierskiej. Fundamentalnie ważną cechą takich układów jest ich stabilność, często przez inżynierów nazywana statecznością, ujęta jako odporność na zaburzenia stanów równowagi.
Za pierwowzór układów dynamicznych można uznać modele punktów materialnych w polu sił potencjalnych, na przykład opisujące układy ciał niebieskich. Stąd wynika, że należy rozpatrywać funkcje zmiennej przestrzennej, a mianowicie przemieszczenie i prędkość, które razem definiują stan układu i podlegają ewolucji czasowej.
W celu badania ruchu ośrodka ciągłego formułuje się równania ruchu wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi, które razem determinują przyszłą trajektorię każdej cząsteczki rozpatrywanego medium. W tym opracowaniu skupimy się na szczególnej klasie zagadnień, a mianowicie na zginaniu belek sprężystych, opisanych teorią Jacoba Bernoulliego, Leonarda Eulera i Daniela Jacobiego.
Równanie Bernoulliego-Eulera, oparte na hipotezie nieodkształconych włókien prostopadłych do linii środkowej belki, dotyczy również prętów i kolumn, o ile są one smukłe, a przekrój jest stały lub umiarkowanie zmienny. Euler opisał zjawisko utraty stateczności rozwiązania zerowego, podając analityczne wzory zarówno na siłę krytyczną, jak i na postać przemieszczeń powodujących ugięcie i ewentualnie zniszczenie kolumny.
Okazuje się, że istotny wpływ na wartość siły krytycznej, jak i na postać utraty stabilności, mają warunki brzegowe oraz obciążenia poprzeczne, zależne od przemieszczenia. Takimi obciążeniami są głównie siły spowodowane odkształceniem podłoża, na przykład Winklerowskiego, lub podpór, w tym sprężystych oraz tłumiących, lepkosprężystych.
W takich przypadkach, w odróżnieniu od obciążeń siłą nieśledzącą, kierunek, moduł lub cząsteczka, do której przykładana jest siła, są zmienne. Na przykład przy kolumnie Becka na górny koniec kolumny działa oprócz siły osiowej, ściskającej o zadanym module, siła poprzeczna, taka, że siła wypadkowa ma zawsze kierunek styczny do linii środkowej kolumny na jej końcu.
W przypadku układów z siłami śledzącymi analiza statyczna, bez uwzględnienia sił bezwładności, nie umożliwia uzyskania poprawnych wyników. Podejście takie w przypadku konserwatywnego obciążenia, to jest warunków brzegowych Eulera, jest dopuszczalne.
Istnieje wtedy, przy krytycznej wartości siły, ścieżka stanów równowagi odchodząca od rozwiązania zerowego do dowolnie dużych wychyleń. Początkowo mylnie sądzono, że skoro takiej opcji nie ma przy warunkach Becka, to kolumna Becka nie ma skończonej siły krytycznej.
Okazuje się jednak, że scenariusz jest inny, a siła krytyczna, chociaż kilkakrotnie wyższa od siły Eulera, ma wartość skończoną. Kolumna Becka przy podkrytycznym poziomie obciążenia, lekko wytrącona ze stanu równowagi zerowego, będzie drgać, przy czym amplitudy każdej formy własnej pozostaną na zawsze takie same jak bezpośrednio po pobudzeniu.
Taki sposób utraty stabilności, prowadzący do zniszczenia konstrukcji, nazywamy flutterem. W książce wykazano, że nie tylko wyżej opisane objawy związane z utratą stabilności różnią układy z siłami śledzącymi od takich z obciążeniami konserwatywnymi.
Ważny jest również fakt, że w opisie matematycznym występują operatory niesamosprzężone, a po dyskretyzacji powstają macierze niesymetryczne, gdy analizujemy siły śledzące. Kontynuując rozważania omówiono podstawowe cechy układów dynamicznych, przytaczając w celu ilustracji wiele popularnych, a także mniej znanych przykładów.
Omówiono wstępnie równania i zjawiska, pokazując wykresy – bez wchodzenia na tym etapie w szczegóły metod analizy i w sposoby uzyskiwania wyników. Następnie zajęto się modelowaniem belek i kolumn, wyprowadzając równanie Bernoulliego-Eulera oraz omawiając pewne uogólnienia.
Szczególną uwagę skupiono na takich elementach, jak podłoża i podpory, zarówno sprężyste jak i tłumiące, oraz na warunkach brzegowych, w tym Eulera, Reuta i Leipholtza. Metody rozwiązania równań algebraicznych, różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych wprowadzono, by je przedyskutować na wstępnych przykładach, a narzędzia dopasowano do potrzeb tej książki.
Zastosowano przedstawione metody analityczne i numeryczne, uzyskując w ten sposób ważne wyniki dotyczące obiektów badań. Celem ostatecznym jest poprawa właściwości badanych konstrukcji w sensie optymalizacji ich parametrów, takich jak cechy materiałowe czy eometryczne.
Maksymalizacja siły krytycznej poprzez dobór kształtu przy niezmiennych kosztach materiału lub minimalizacja kosztów kolumny przy zachowaniu wymaganego poziomu siły krytycznej, to dwa zadania programowania nieliniowego w tym kontekście. Numeryczne rozwiązanie zagadnień początkowych dotyczących zdyskretyzowanych równań ruchu możliwe jest nawet w wielu przypadkach, w których dotychczas prezentowane metody zawodzą.
W szczególności wpływy nieliniowości oraz czynników losowych mogą być ujęte ilościowo poprzez zastosowanie technik symulacji dynamicznej. Autorzy, prowadząc wykłady na studiach doktoranckich Politechnik Warszawskiej, Krakowskiej i Koszalińskiej, mają nadzieję, że niniejsza książka będzie pomocna młodym badaczom kierunków mechanicznych.
